Question

13．平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． -$\frac{1}{7}$
• D． -$\frac{\sqrt{21}}{7}$

Answer 1

分析 分別計算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$），|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，代入夾角公式計算即可．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos$\frac{π}{3}$=1，
∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1+2+4=7，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1-2+4=3，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=-3．設(shè)$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．