Question

8．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}，0＜x≤1\\ \frac{1}{2}f（{x-1}），x＞1\end{array}$，則方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，5]上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由奇函數(shù)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程f（x）在（3，5]上的所有實(shí)根之和，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
y=$\frac{1}{x}$在其定義域上也是奇函數(shù)；
∴方程f（x）在[-3，3]上的所有實(shí)根之和為0，
故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程f（x）在（3，5]上的所有實(shí)根之和，
當(dāng)x∈（3，4]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{8}$•2^x-3，故$\frac{1}{8}$＜f（x）≤$\frac{1}{4}$，
而$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{3}$，
故當(dāng)x=4時(shí)，方程f（x）=$\frac{1}{x}$成立；
可判斷當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）＜$\frac{1}{x}$恒成立，故方程f（x）=$\frac{1}{4}$無(wú)解，
故方程f（x）在[-3，5]上的所有實(shí)根之和為4，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用．