4.在平面直角坐標系xOy中,角α的頂點是坐標原點,始邊為x軸的正半軸,終邊與單位圓O交于點A(x1,y1),α∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$).將角α終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$,交單位圓于點B(x2,y2).過A,B作x軸的垂線,垂足分別為C,D,記△AOC及△BOD的面積分別為S1,S2,且S1=$\frac{4}{3}$S2,則tanα的值等于( 。
A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{4}{3}$

分析 利用任意角的三角函數(shù)的定義求得S1,S2的值,再根據(jù)S1=$\frac{4}{3}$S2,求得tan2α的值,可得tanα的值.

解答 解:由題意可得S1 =$\frac{1}{2}$•cosα•sinα=$\frac{1}{4}$sin2α,S2 =$\frac{1}{2}$•[-cos($α+\frac{π}{4}$)]•sin(α+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{1}{4}$sin(2α+$\frac{π}{2}$)=-$\frac{1}{4}$cos2α.
再根據(jù)S1=$\frac{4}{3}$S2,可得$\frac{1}{4}$•sin2α=$\frac{4}{3}$•(-$\frac{1}{4}$cos2α),∴tan2α=-$\frac{4}{3}$=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$,
求得tanα=2,或tanα=-$\frac{1}{2}$ (不滿足α∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$),故舍去),
故選:B.

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

練習冊系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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