Question

【題目】已知函數(shù)，（其中）

（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)有唯一的零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得 ，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為，據(jù)此分類討論可得：當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在在單調(diào)遞減.

(2)由題意可得：若，則導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得當(dāng)時(shí)， 取得極小值，且易證明在區(qū)間上， ，而，有函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn).

試題解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

令，即，

①當(dāng)，即時(shí)， 是上的增函數(shù)；

②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，

單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在在單調(diào)遞減.

（2）若，令，即，得，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)， 取得極小值，

以下證明：在區(qū)間上， ，

令，則，

，

因?yàn)?/span>，不等顯然成立，故在區(qū)間上， ，

又，即，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn).