【題目】已知函數(shù),(其中)
(1)若,討論函數(shù)的單調性;
(2)若,求證:函數(shù)有唯一的零點.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)結合函數(shù)的解析式可得 ,導函數(shù)的零點為,據(jù)此分類討論可得:當時, 在單調遞增,在單調遞減;當時, 在單調遞增;當時, 在單調遞增,在在單調遞減.
(2)由題意可得:若,則導函數(shù)的零點為,結合導函數(shù)與原函數(shù)的關系可得當時, 取得極小值,且易證明在區(qū)間上, ,而,有函數(shù)零點存在定理可知當時,函數(shù)有唯一的零點.
試題解析:
(1)的定義域為,
,
令,即,
①當,即時, 是上的增函數(shù);
②當,即時,當時, 單調遞增,當時,
單調遞減;當時, 單調遞增;
③當,即時,當時, 單調遞增;當時, 單調遞減;當時, 單調遞增;
綜上所述,當時, 在單調遞增,在單調遞減;
當時, 在單調遞增;
當時, 在單調遞增,在在單調遞減.
(2)若,令,即,得,
當時, 單調遞減,當時, 單調遞增,
故當時, 取得極小值,
以下證明:在區(qū)間上, ,
令,則,
,
因為,不等顯然成立,故在區(qū)間上, ,
又,即,故當時,函數(shù)有唯一的零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為2的菱形, .已知, .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若為上一點,記三棱錐的體積和四棱錐的體積分別為和,當時,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 的焦點為,過拋物線上的動點(除頂點外)作的切線交軸于點.過點作直線的垂線(垂足為)與直線交于點.
(Ⅰ)求焦點的坐標;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求線段的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列滿足,數(shù)列的前項和為,且滿足.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司的底薪80元,每單抽成4元;乙公司無底薪,40單以內(含40單)的部分每單抽成6元,超出40單的部分每單抽成7元,假設同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:
甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 5 | 10 | 10 | 20 | 5 |
(1)現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機抽取3天,求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率;
(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個問題:
①記乙公司送餐員日工資為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望;
②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王作出選擇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2<f(x0)<2-2.
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