【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為2的菱形, .已知, .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若為上一點(diǎn),記三棱錐的體積和四棱錐的體積分別為和,當(dāng)時(shí),求的值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(1)連接AC交BD于O點(diǎn),由BD⊥AC,BD⊥OP得出BD⊥平面PAC,故PC⊥BD;(2)由(1)知平面平面,過點(diǎn)作,交于,則平面,
∴, 分別是三棱錐和四棱錐的高.從而根據(jù)體積比得到長度比的值.
試題解析:
(Ⅰ)證明:連接交于點(diǎn)
∵,∴
又∵是菱形,∴
而,∴平面,且平面
∴
(Ⅱ)由條件可知: ,∴
∵,∴,∴
由(Ⅰ)知, 平面, 平面,
∴,∴平面,
∴平面平面
過點(diǎn)作,交于,則平面,
∴,∴分別是三棱錐和四棱錐的高.
又,
由,得,所以
又由
同時(shí), ,∴.
點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.
(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱錐的各條棱長都相等,且點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)在上是否存在點(diǎn),使平面平面,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)令,已知函數(shù),若對(duì)任意,總存在 ,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司為推廣線下分店,計(jì)劃在市的區(qū)開設(shè)分店.為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù),該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù), 表示這個(gè)分店的年收入之和.
(個(gè)) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(百萬元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(Ⅰ)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤(單位:百萬元)與之間的關(guān)系為,請結(jié)合(Ⅰ)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店,才能使區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤最大?
參考公式:
, , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018貴州遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,拋物線的焦點(diǎn)為,以為焦點(diǎn),離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為;自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn),設(shè).
(Ⅰ)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(Ⅱ)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機(jī)遇,2017年雙11全天交易額達(dá)到1682億元,為規(guī)范和評(píng)估該行業(yè)的情況,相關(guān)管理部門制定出針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行評(píng)價(jià),對(duì)商品的好評(píng)率為0.6,對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75,其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.
(1)完成關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表,判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)?
(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全為好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量:
①求對(duì)商品和服務(wù)全為好評(píng)的次數(shù)的分布列;
②求的數(shù)學(xué)期望和方差.
附:臨界值表:
的觀測值: (其中)
關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與直線都經(jīng)過點(diǎn).直線與平行,且與橢圓交于兩點(diǎn),直線與軸分別交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)證明: 為等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中)
(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,求證:函數(shù)有唯一的零點(diǎn).
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