已知函數(shù)若函數(shù)在x = 0處取得極值.
(1) 求實數(shù)的值;
(2) 若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0,2]上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對任意的正整數(shù)n,不等式都成立.

(1);(2) ;(3)見解析.

解析試題分析:(1)先有已知條件寫出的解析式,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系得到,解得的值;(2)由構(gòu)造函數(shù),則上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于恰有兩個不同實數(shù)根,對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再由零點的存在性定理得到,解不等式組即可;(3)證明不等式,即是證明,即.對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,找到其在區(qū)間上的最大值,則有成立,那么不等式得證.
試題解析:(1) 由題意知,   2分
時, 取得極值,∴,故,解得
經(jīng)檢驗符合題意.                                                       4分
(2)由
 ,得,                          5分

上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于恰有兩個不同實數(shù)根. ,         7分
當(dāng)時,,于是上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,于是上單調(diào)遞減.依題意有
,即, .9分
(3) 的定義域為,由(1)知,
得, (舍去),                 11分
∴當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減.  ∴

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

己知函數(shù) .
(I)若是,的極值點,討論的單調(diào)性;
(II)當(dāng)時,證明:.

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已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)令,是否存在實數(shù),當(dāng) (是自然對數(shù)的底數(shù))時,函數(shù)的最小值是.若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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如圖,已知點,函數(shù)的圖象上的動點軸上的射影為,且點在點的左側(cè).設(shè),的面積為.

(Ⅰ)求函數(shù)的解析式及的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)的最大值.

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已知函數(shù)在點處的切線方程為
⑴求函數(shù)的解析式;
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有,求實數(shù)的最小值;
⑶若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.

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設(shè)函數(shù),曲線過點P(1,0),且在P點處的切斜線率為2.
(1)求,的值;
(2)證明:

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已知函數(shù)>0)
(1)若的一個極值點,求的值;
(2)上是增函數(shù),求a的取值范圍
(3)若對任意的總存在成立,求實數(shù)m的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(II)若關(guān)于x的不等式恒成立,求實數(shù)a的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.

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