如圖,已知點(diǎn),函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)在軸上的射影為,且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè).設(shè),的面積為.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式及的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)的最大值.
(Ⅰ).
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值8.
解析試題分析:(Ⅰ)確定三角形面積,主要確定底和高.
(Ⅱ)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,遵循“求導(dǎo)數(shù),求駐點(diǎn),討論駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù),比較極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值”.利用“表解法”形象直觀,易以理解.
試題解析:(Ⅰ)由已知可得,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為, 2分
因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè),所以,即.
由已知,所以, 4分
所以
所以的面積為. 6分
(Ⅱ) 7分
由,得(舍),或. 8分
函數(shù)與在定義域上的情況如下:
12分2 + 0 ↗ 極大值 ↘
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值8. 13分
考點(diǎn):三角形面積,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l1,在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l2,現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通.已知AB = 60m,BC = 80m,公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米1萬元,穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米2萬元,設(shè)∠EFB= α,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為W.
(1)求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求W的最小值及相應(yīng)的角α.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),,,為函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn),若過,兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè),函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)、,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)設(shè),,,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);
(Ⅱ)設(shè),若對任意,均有,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè),函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行,求的值;
(3)若函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)若函數(shù)在x = 0處取得極值.
(1) 求實(shí)數(shù)的值;
(2) 若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對任意的正整數(shù)n,不等式都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若,求在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某校內(nèi)有一塊以為圓心,(為常數(shù),單位為米)為半徑的半圓形(如圖)荒地,該?倓(wù)處計(jì)劃對其開發(fā)利用,其中弓形區(qū)域(陰影部分)用于種植學(xué)校觀賞植物,區(qū)域用于種植花卉出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知種植學(xué)校觀賞植物的成本是每平方米20元,種植花卉的利潤是每平方米80元,種植草皮的利潤是每平方米30元.
(1)設(shè)(單位:弧度),用表示弓形的面積;
(2)如果該校總務(wù)處邀請你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計(jì)的大小才能使總利潤最大?并求出該最大值.
(參考公式:扇形面積公式,表示扇形的弧長)
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