Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形， 為等邊三角形， ， 分別是， 的中點(diǎn)， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ)根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面；（Ⅱ）根據(jù)平面，可得，結(jié)合，可得平面，故為三棱錐的高，根據(jù)平面幾何知識(shí)分別算出與的面積，由得， 可得點(diǎn)到平面的距離.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，正的邊長(zhǎng)為， 點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

， .

在正方形中， 為的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為，則.

在中， ， .

又， 平面.

又平面， 平面 平面；

（Ⅱ）由題意得， ， 為等邊三角形，則， .

平面， .

， 平面.

故為三棱錐的高.

.

又 是的中點(diǎn)， .

在正方形中， ，則在中，滿足， 為直角三角形， .

.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得， ，解得.