Question

10．設(shè)命題p：$\frac{2x}{x-1}$＜1，命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0，若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p，q的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由$\frac{2x}{x-1}$＜1得$\frac{2x}{x-1}$-1=$\frac{x+1}{x-1}$＜0，解之得-1＜x＜1…（3分）
由x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0即（x-a）[x-（a+1）]＜0
解得a＜x＜a+1…（6分）
因?yàn)椹Vp是￢q的充分不必要條件，由命題的等價(jià)性知，q是p的充分不必要條件，
即p是q的必要不充分條件…（9分）
則$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$，即-1≤a≤0，
則a的取值范圍為：[-1，0]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價(jià)性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵，