Question

如果對(duì)任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
（1）求f（0），f（2），f（3）的值和

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2013)

f(2012)

的值；
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1成立，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=1，y=0，求出f（0），令x=y=1，求出f（2），令x=1，y=2求出f（3）；由

f(n+1)

f(n)

=f（1）=2，即可求出所求的和；
（2）運(yùn)用單調(diào)性定義證明，令x₁＞x₂＞0，則x₁-x₂＞0，?x＞0，f（x）=f²（

x

2

）≥0，證明不能為0，再由f（x₁）=
f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），即可得到單調(diào)性．

解答： 解：（1）令x=1，y=0，則f（1）=f（1）f（0），
由于f（1）=2，則f（0）=1，
又∵對(duì)任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
∴f（2）=f（1）f（1）=4，f（3）=f（1）f（2）=8，
∴

f(2)

f(1)

=2，

f(n+1)

f(n)

=f（1）=2，
∴

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2013)

f(2012)

=2012f（1）=4024；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
理由：令x₁＞x₂＞0，則x₁-x₂＞0，而f（x+y）=f（x）•f（y），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）
∵?x＞0，f（x）=f²（

x

2

）≥0，若存在x₀，使f（x₀）=0，
則f（1）=f（x₀）f（1-x₀）=0這與f（1）=2矛盾，
∴f（x）＞0恒成立，
由x＞0，f（x）＞1，∴f（x₁-x₂）＞1，f（x₂）＞0，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性及證明，注意定義的運(yùn)用，屬于中檔題．