Question

6．若函數(shù)f（x）=ax-lnx在（2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $[{\frac{1}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax-lnx在（2，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
∵函數(shù)f（x）=ax-lnx在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$≥0在（2，+∞）上恒成立
∴a≥$\frac{1}{x}$
函數(shù)y=$\frac{1}{x}$，在（2，+∞）上單調(diào)減，
∴x=2時(shí)，函數(shù)y取得最大值$\frac{1}{2}$
∴a≥$\frac{1}{2}$
實(shí)數(shù)a的取值范圍是：$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，利用分離參數(shù)法解決恒成立問題．