Question

15．已知橢圓C的離心率為$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為A₁（-2，0），A₂（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A₁P，A₂Q交于S，試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由a=2，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，知c=$\sqrt{2}$，b²=2，由此能求出橢圓C的方程；
（2）取m=0，得P（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），直線A₁P的方程是y=$\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線A₂Q的方程為是$y=\frac{\sqrt{6}}{2}x-\sqrt{6}$，交點(diǎn)為S₁（4，$\sqrt{6}$）．若P（1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），Q（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），由對(duì)稱性可知S₂（4，-$\sqrt{6}$），若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為l：x=4，然后證明當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S在直線x=4上．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∵a=2，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=$\sqrt{2}$，b²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）取m=0，得P（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
直線A₁P的方程是y=$\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線A₂Q的方程是$y=\frac{\sqrt{6}}{2}x-\sqrt{6}$，交點(diǎn)為S₁（4，$\sqrt{6}$）．
若P（1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），Q（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），由對(duì)稱性可知S₂（4，-$\sqrt{6}$），
若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為l：x=4．
以下證明對(duì)于任意的m，直線A₁P與A₂Q的交點(diǎn)S均在直線l：x=4上，
事實(shí)上，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²+2my-3=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+2}$，
記A₁P與l交于點(diǎn)S₀（4，y₀），
由$\frac{{y}_{0}}{4+2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，得${y}_{0}=\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，
設(shè)A₂Q與l交于點(diǎn)S′₀（4，y′₀），
由$\frac{y{′}_{0}}{4-2}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，得$y{′}_{0}=\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
∵${y}_{0}-y{′}_{0}=\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}-\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{6{y}_{1}（m{y}_{2}-1）-2{y}_{2}（m{y}_{1}+3）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}-6（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{\frac{-12m}{{m}^{2}+2}-\frac{-12m}{{m}^{2}+2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}=0$，
∴y₀=y′₀，即S₀與S′₀重合，
這說(shuō)明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線l：x=4上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)變換是解題的關(guān)鍵，是中檔題．