Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x²+8x，g（x）=6ln x+m．
（1）若函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=6x相切，求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，求出實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導數(shù)，設切點為（s，t），求得切線的斜率，由已知切線的方程可得s，t的方程，解方程即可得到所求值；
（2）設h（x）=g（x）-f（x），則h（x）=x²-8x+6ln x+m（x＞0）．函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，等價于函數(shù)h（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．求出h（x）的導數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，由h（x）的極大值大于0，h（x）的極小值小于0，解不等式即可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）=6ln x+m的導數(shù)為g′（x）=$\frac{6}{x}$，
設切點為（s，t），可得切線的斜率為$\frac{6}{s}$，
函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=6x相切，
可得$\frac{6}{s}$=6，t=6s=6lns+m，
解得s=1，m=6；
（2）設h（x）=g（x）-f（x），則h（x）=x²-8x+6ln x+m（x＞0）．
函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，
等價于函數(shù)h（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．
h′（x）=2x-8+$\frac{6}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-3）}{x}$，
由h′（x）=0得x=1或x=3．
當x變化時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	m-7	遞減	m+6ln 3-15	遞增

因此，h（x）的極大值為h（1）=m-7，
極小值為h（3）=m+6ln 3-15．
又當x→0時，h（x）→-∞；當x→+∞時，h（x）→+∞，
因此，h（x）的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，
等價于$\left\{\begin{array}{l}h（x）極大=m-7＞0\\ h（x）極小=m+6ln3-15＜0\end{array}$解得7＜m＜15-6ln 3．
故若數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，
則m的取值范圍為（7，15-6ln 3）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查方程思想和轉化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．