Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x＞1時，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³是否恒成立，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）得f′（x）=x-

a

x

（x＞0），討論a的符號，判斷單調性．
（2）構造函數(shù)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx（x＞1），利用導數(shù)求解最小值，轉化為判斷最小值的符號問題．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
由題意得f′（x）=x-

a

x

＞0（x＞0），
∴當a≤0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當a＞0時，f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

，
∴當0＜x＜

a

時，f′（x）＜0，當x＞

a

時，f′（x）＞0
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（

a

，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，

a

）．
（2）設g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx（x＞1）
則g′（x）=2x²-x-

1

x

．
∵當x＞1時，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0．即

2

3

x³-

1

2

x²-lnx＞0，
∴

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，
故當x＞1時，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³是恒成

點評：本題綜合考察了導數(shù)的運用，證明不等式恒成立問題，屬于難題．