Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³是否恒成立，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）得f′（x）=x-

a

x

（x＞0），討論a的符號(hào)，判斷單調(diào)性．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx（x＞1），利用導(dǎo)數(shù)求解最小值，轉(zhuǎn)化為判斷最小值的符號(hào)問題．

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由題意得f′（x）=x-

a

x

＞0（x＞0），
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

，
∴當(dāng)0＜x＜

a

時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞

a

時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

a

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

a

）．
（2）設(shè)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx（x＞1）
則g′（x）=2x²-x-

1

x

．
∵當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0．即

2

3

x³-

1

2

x²-lnx＞0，
∴

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，
故當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³是恒成

點(diǎn)評：本題綜合考察了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，證明不等式恒成立問題，屬于難題．