Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x-2），4≤x≤6}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，當(dāng)0≤x₁＜4≤x₂≤6時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的取值范圍是[3，$\frac{256}{27}$]．

Answer 1

分析 先求出x₁的范圍，再將x₁f（x₂）轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識確定x₁f（x₂）的取值范圍．

解答 解：∵4≤x₂≤6時，f（x）=log₂（x-2）∈[1，2]
∴由-x²+4x∈[1，2]得2-$\sqrt{3}$≤x₁≤2-$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$≤x₁≤2+$\sqrt{3}$．
∵f（x₁）=-x₁²+4x₁，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x₁（-x₁²+4x₁）
令y=x₁f（x₂）=x₁（-x₁²+4x₁）
則y′=x₁（-3x₁+8）
∴2-$\sqrt{3}$≤x₁≤2-$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$≤x₁≤$\frac{8}{3}$時，函數(shù)單調(diào)遞增；$\frac{8}{3}$≤x₁≤2+$\sqrt{3}$時，函數(shù)單調(diào)遞減
∴x₁f（x₂）的取值范圍為[3，$\frac{256}{27}$]．
故答案為[3，$\frac{256}{27}$]．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵所在．