Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1，其中m∈R；
（1）當(dāng)m=2時(shí)，判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=2時(shí)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）利用參數(shù)轉(zhuǎn)化法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=|x|+$\frac{2}{x}$-1，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1，
設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-1-（-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$-1）=x₂-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)遞減；
（2）由f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0，則$\frac{m}{x}$=1-|x|，
即m=x（1-|x|），（x≠0），
設(shè)h（x）=x（1-|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），}&{x＞0}\\{x（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：
由圖象得到當(dāng)m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，m=h（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)m=-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}$或0時(shí)，m=h（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)-$\frac{1}{4}$＜m＜0或0＜m＜$\frac{1}{4}$時(shí)，m=h（x）有3個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，利用參數(shù)分離法結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．