【題目】大慶實驗中學在高二年級舉辦線上數(shù)學知識競賽,在已報名的400名學生中,根據(jù)文理學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)估算一下本次參加考試的同學成績的中位數(shù)和眾數(shù);
(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(3)已知樣本中有一半理科生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等.試估計總體中理科生和文科生人數(shù)的比例.
【答案】(1)中位數(shù)為72.5,眾數(shù)為75(2)20(3)3∶2
【解析】
(1)算出每組的概率,進而找到50%落在哪個組,代入計算即可求解中位數(shù),眾數(shù)很明顯在最高出中間位置產(chǎn)生;(2)先算出總體多少人再乘以[40,50)的概率即可求解;(3)先算出總共分數(shù)不小于70的人數(shù), 從而算出樣本中分數(shù)不小于70的理科生人數(shù),再得到文科生人數(shù)即可求解。
解析:(1)可以估計出中位數(shù)為72.5,眾數(shù)為75.
(2)根據(jù)題意,樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-100×0.9-5=5.
所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×=20.
(3)由題意可知,樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)×10×100=60,
所以樣本中分數(shù)不小于70的理科生人數(shù)為60×=30.所以樣本中的理科生人數(shù)為30×2=60,文科生人數(shù)為100-60=40,
所以根據(jù)分層抽樣原理,總體中理科生和文科生人數(shù)的比例估計為60∶40=3∶2.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)令函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù),若函數(shù)有且只有一個零點,判斷與的大小,并說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)判斷函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.
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【題目】如圖,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB 1 ,若二面角 C AB C1 的大小為 60°,則點 C 到平面 ABC1 的距離為( )
A.B.C.D.
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【題目】(12分)已知函數(shù) .
(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在 上為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)設(shè)m,n為正實數(shù),且m>n,求證: .
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【題目】居民消費價格指數(shù)(Consumer Price Index,簡稱),是度量居民生活消費品和服務(wù)價格水平隨著時間變動的相對數(shù),綜合反映居民購買的生活消費品和服務(wù)價格水平的變動情況.如圖為國家統(tǒng)計局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月數(shù)據(jù)同比和環(huán)比漲跌幅折線圖:
(注:同比,同比漲跌幅,環(huán)比,環(huán)比漲跌幅),則下列說法正確的是( )
A.2019年12月與2018年12月相等
B.2020年3月比2019年3月上漲4.3%
C.2019年7月至2019年11月持續(xù)增長
D.2020年1月至2020年3月持續(xù)下降
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【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,是邊長為2的正三角形,已知點滿足.
(1)求二面角的大。
(2)求異面直線與的距離;
(3)直線上是否存在點,使平面?若存在,請確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“”的否定是“”
B.命題“已知,若則或”是真命題
C.命題“若則函數(shù)只有一個零點”的逆命題為真命題
D.“在上恒成立”在上恒成立
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