Question

18．已知函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{x^2}{2}-（a-1）x，a∈R$．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-1時，證明：$f（x）≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為x²-（a+1）x+a≤0在（1，3）上恒成立，求出a的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)f（x）的最小值，證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（a+1）=\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x}$，
因為函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)增，
故f'（x）≤0即x²-（a+1）x+a≤0在（1，3）上恒成立，
∴a≥x，∴a≥3．
（2）證明：當(dāng)a=-1時，$f（x）=-lnx+\frac{x^2}{2}$，
$f'（x）=-\frac{1}{x}+x=\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）=0得x=1或x=-1（舍）
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

∴x=1時，f（x）取得最小值$f（1）=\frac{1}{2}$，
∴$f（x）≥\frac{1}{2}$成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．