Question

4．已知函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且x≥1時，f（x）=xlnx，若不等式f（e^x+1）≥f（ax+1）對任意x∈[0，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-e，e]
• B． [-$\frac{{e}^{3}}{3}$，$\frac{{e}^{3}}{3}$]
• C． [-e，$\frac{{e}^{3}}{3}$]
• D． （-∞，e]

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．x≥1時，f（x）=xlnx，由于f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
①當(dāng)ax+1≥1時，由不等式f（e^x+1）≥f（ax+1）對任意x∈[0，3]恒成立，可得a≥0，e^x+1≥ax+1，即e^x≥ax，對任意x∈[0，3]恒成立．x=0時恒成立．x∈（0，3]時a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
②當(dāng)ax+1＜1時，ax＜0．由不等式f（e^x+1）≥f（ax+1）化為f（1-e^x）≥f（ax+1）對任意x∈[0，3]恒成立，
a＜0．x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．可得1-e^x≤ax+1，化簡利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
x≥1時，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1≥1＞0，因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
可得x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
e^x+1＞1．
①當(dāng)ax+1≥1時，由不等式f（e^x+1）≥f（ax+1）對任意x∈[0，3]恒成立，
∴a≥0，e^x+1≥ax+1，即e^x≥ax，對任意x∈[0，3]恒成立．
x=0時恒成立．
x∈（0，3]時a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
可得x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（1）=e．
∴a≤e．
∴0≤a≤e．
②當(dāng)ax+1＜1時，ax＜0．
由不等式f（e^x+1）≥f（ax+1）化為f（1-e^x）≥f（ax+1）對任意x∈[0，3]恒成立，
∴a＜0．
∵x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴1-e^x≤ax+1，即-e^x≤ax．
x=0時恒成立．
當(dāng)x∈（0，3]時，a≥-$\frac{{e}^{x}}{x}$，
令h（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，h′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
可得x=1時，函數(shù)h（x）取得極大值即最大值，h（1）=-e．
∴-e≤a＜0．
綜上可得：-e≤a≤e．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．