Question

19．已知函數(shù)f（x）=|2x+a|+x（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）≤2x+1的解集
（Ⅱ）已知不等式f（x）≤|x+3|（x＞0）的解集為D，且[1，2]⊆D，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，分類討論去掉絕對值，求得不等式f（x）≤2x+1的解集．
（Ⅱ）由題意，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式f（x）≤|x+3|恒成立，即-3≤2x+a≤3恒成立，由此求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f（x）≤2x+1，即|2x-2|+x≤2x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-2x+x≤2x+1}\end{array}\right.$  ①，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x-2+x≤2x+1}\end{array}\right.$②．
解①求得$\frac{1}{3}$≤x＜1，解②求得1≤x≤3，
故原不等式的解集為{x|$\frac{1}{3}$≤x≤3}．
（Ⅱ）∵已知不等式f（x）≤|x+3|（x＞0）的解集為D，且[1，2]⊆D，
∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=|2x+a|+x≤|x+3|=x+3 恒成立，即|2x+a|≤3恒成立，
即-3≤2x+a≤3恒成立，故有-3-2x≤a≤3-2x恒成立，∴-5≤a≤-1，
即a的范圍為[-5，-1]．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．