Question

8．直線y=kx+1（k∈R）與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍為（1，5）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 分類討論，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置，由直線y=kx+1恒過點(diǎn)（0，1），要使直線與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則只需（0，1）必在橢圓內(nèi)部，即可求得m的取值范圍．

解答 解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則0＜m＜5時(shí)，
直線y=kx+1恒過點(diǎn)（0，1），要使直線與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則（0，1）必在橢圓內(nèi)部，即$\sqrt{m}$＞1，則m＞1，
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則m＞5，
直線y=kx+1恒過點(diǎn)（0，1），要使直線與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則（0，1）必在橢圓內(nèi)部，顯然成立，
則m＞5，
綜上可知：m的取值范圍：（1，5）∪（5，+∞），
故答案為：（1，5）∪（5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．