Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$-1+lnx，若存在x₀＞0，使得f（x₀）≤0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值即可得到結(jié)論．

解答 解：若存在x₀＞0，使得f（x₀）≤0有解，
則由f（x）=$\frac{a}{x}$-1+lnx≤0，即$\frac{a}{x}$≤1-lnx，
即a≤x-xlnx，設(shè)h（x）=x-xlnx，
則h′（x）=1-（lnx+x$•\frac{1}{x}$）=1-lnx-1=-lnx，
由h′（x）＞0得-lnx＞0，即lnx＜0，得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞增，
由h′（x）＜0得-lnx＜0，即lnx＞0，得x＞1，此時(shí)函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值h（1）=1-ln1=1，
即h（x）≤1
若a≤x-xlnx，有解，則a≤1，
故答案為：（-∞，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的存在性性問題，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的極值，注意本題是存在性問題，不是恒成立問題，注意兩者的區(qū)別．