Question

7．若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x³和y=ax²+$\frac{15}{4}$x-9都相切，則a的值為（　�。�

• A． -1或-$\frac{25}{64}$
• B． -$\frac{23}{38}$
• C． -2
• D． -3或-$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出所求切線方程的切點坐標和斜率，把切點坐標代入曲線方程得到一個等式，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線的方程，把切點坐標代入又得到一個等式，聯(lián)立方程組即可求出切點的橫坐標，進而得到切線的斜率，根據(jù)已知點的坐標和求出的斜率寫出切線方程，再根據(jù)與y=ax²+$\frac{15}{4}$x-9都相切，聯(lián)立方程組，△=0可求出所求．

解答 解：y=x³的導數(shù)為y′=3x²；y=ax²+$\frac{15}{4}$x-9的導數(shù)為y′=2ax+$\frac{15}{4}$，
設(shè)直線與曲線y=x³的切點坐標為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}=3{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得x₀=0或$\frac{3}{2}$，
則切線的斜率k=3x₀²=0或k=$\frac{27}{4}$，
若k=0，此時切線的方程為y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{y=a{x}^{2}+\frac{15}{4}x-9}\end{array}\right.$，
消去y，可得ax²+$\frac{15}{4}$x-9=0，
其中△=0，即（$\frac{15}{4}$）²+36a=0，
解可得a=-$\frac{25}{64}$；
若k=$\frac{27}{4}$，其切線方程為y=$\frac{27}{4}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{27}{4}（x-1）}\\{y=a{x}^{2}+\frac{15}{4}x-9}\end{array}\right.$，
消去y可得ax²-3x-$\frac{9}{4}$=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-$\frac{25}{64}$或-1．
故選：A．

點評 本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)一點坐標和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．