Question

19．在△ABC中，
（1）求證：cos²$\frac{A+B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=1；
（2）若cos（$\frac{π}{2}$+A）sin（$\frac{3}{2}$π+B）tan（C-π）＜0，求證：△ABC為鈍角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的內(nèi)角和定理與三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式，即可證明結(jié)論成立；
（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式先化簡，再根據(jù)角的取值范圍與三角函數(shù)值的符號，即可證明．

解答 解：（1）證明：△ABC中，A+B=π-C，
∴$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴cos$\frac{A+B}{2}$=cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=sin$\frac{C}{2}$
∴cos²$\frac{A+B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=sin²$\frac{C}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=1；
（2）證明：△ABC中，cos（$\frac{π}{2}$+A）sin（$\frac{3}{2}$π+B）tan（C-π）＜0，
∴-sinA•（-cosB）•tanC＜0，
即sinAcosBtanC＜0；
又A、B、C∈（0，π），
∴sinA＞0，
∴cosBtanC＜0，
即cosB＜0或tanC＜0，
∴B為鈍角或C為鈍角，
∴△ABC為鈍角三角形．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理與三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．