分析 (1)由橢圓G:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,由右焦點(diǎn)為(2$\sqrt{2}$,0)則c=2$\sqrt{2}$,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,a=2$\sqrt{3}$,b2=a2-c2=4,即可求得橢圓G的方程;
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-$\frac{3m}{2}$,則中點(diǎn)坐標(biāo)公式x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$,y0=x0+m=$\frac{m}{4}$,由題意可知:PE⊥AB,PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1,解得:m=2,即可求得直線AB的方程.
解答 解:(1)由橢圓G:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,由右焦點(diǎn)為(2$\sqrt{2}$,0)則c=2$\sqrt{2}$,
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,解得:a=2$\sqrt{3}$,
又b2=a2-c2=4,
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;…(4分)
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中點(diǎn)為E(x0,y0),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$,整理得:4x2+6mx+3m2-12=0,①
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-$\frac{3m}{2}$,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$,y0=x0+m=$\frac{m}{4}$,
∵AB是等腰△PAB的底邊,
∴PE⊥AB.
∴PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1,解得:m=2,
∴直線AB方程是:x-y+2=0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,等腰三角形的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 2 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 2$\sqrt{5}$ | D. | 1 |
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A. | 8 | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{18}{5}$ | D. | 4 |
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