Question

16．已知過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為2$\sqrt{2}$的直線交拋物線于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且|AB|=$\frac{9}{2}$．（1）求拋物線C的方程；
（2）若拋物線C的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為直線m：x+y-2=0上的動點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，試討論當(dāng)a取不同的值時，圓心在拋物線C上，與直線l相切，且過點(diǎn)P的圓的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）直線AB的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入y²=2px可得8x²-10px+2p²=0，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義、弦長公式|AB|=x₁+x₂+p，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)P（a，2-a），則過P與直線m：x+y-2=0垂直的直線方程為y=x+2-2a，與y²=4x聯(lián)立，利用判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$
∴直線AB的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入y²=2px可得8x²-10px+2p²=0
∴x₁+x₂=$\frac{5}{4}$p，
由拋物線的定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=$\frac{9}{4}$p=$\frac{9}{2}$，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)P（a，2-a），則過P與直線m：x+y-2=0垂直的直線方程為y=x+2-2a，
與y²=4x聯(lián)立，可得x²-4ax+4-8a+4a²=0，
∴△=16a²-4（4-8a+4a²）=32a-16，
∴△＞0，a＞$\frac{1}{2}$，滿足條件的圓的個數(shù)是2個；△=0，a=$\frac{1}{2}$，滿足條件的圓的個數(shù)是1個；△＜0，a＜$\frac{1}{2}$，滿足條件的圓的個數(shù)是0個．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與拋物線相交問題、焦點(diǎn)弦長問題、弦長公式，屬于中檔題．