Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與兩個(gè)直角坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，半圓C的圓心是C．
（Ⅰ）求直線l的普通方程與半圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)D在半圓C上，直線CD的傾斜角是2α，△ABD的面積是4，求D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)，可得直線l的普通方程，利用半圓C的直角坐標(biāo)方程是x²+（y-1）²=1（y＞1），寫出半圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)D在半圓C上，直線CD的傾斜角是2α，△ABD的面積是4，求出α，即可求D的直角坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）直線l的普通方程是y=xtanα-2．
半圓C的直角坐標(biāo)方程是x²+（y-1）²=1（y＞1）．
它的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\(chéng)\ y=1+sinφ\(chéng)end{array}\right.$，其中φ是參數(shù)，且φ∈（0，π）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)D（cos2α，1+sin2α），其中α$∈（0，\frac{π}{2}）$．
再由（Ⅰ）可知$|AB|=\frac{2}{sinα}$．
D到直線l距離是$\frac{|cos2α•tanα-（1+sin2α）-2|}{{\sqrt{{{tan}^2}α+1}}}=3cosα+sinα$．
因?yàn)椤鰽BD的面積是4，所以$\frac{1}{2}•\frac{2}{sinα}•（3cosα+sinα）=4$，得tanα=1，$α=\frac{π}{4}$，
故D的直角坐標(biāo)是D（0，2）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．