Question

18．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與兩個直角坐標軸的交點分別是A，B．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，半圓C的圓心是C．
（Ⅰ）求直線l的普通方程與半圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點D在半圓C上，直線CD的傾斜角是2α，△ABD的面積是4，求D的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)，可得直線l的普通方程，利用半圓C的直角坐標方程是x²+（y-1）²=1（y＞1），寫出半圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點D在半圓C上，直線CD的傾斜角是2α，△ABD的面積是4，求出α，即可求D的直角坐標．

解答 解：（Ⅰ）直線l的普通方程是y=xtanα-2．
半圓C的直角坐標方程是x²+（y-1）²=1（y＞1）．
它的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.$，其中φ是參數(shù)，且φ∈（0，π）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可設D（cos2α，1+sin2α），其中α$∈（0，\frac{π}{2}）$．
再由（Ⅰ）可知$|AB|=\frac{2}{sinα}$．
D到直線l距離是$\frac{|cos2α•tanα-（1+sin2α）-2|}{{\sqrt{{{tan}^2}α+1}}}=3cosα+sinα$．
因為△ABD的面積是4，所以$\frac{1}{2}•\frac{2}{sinα}•（3cosα+sinα）=4$，得tanα=1，$α=\frac{π}{4}$，
故D的直角坐標是D（0，2）．…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程，直角坐標方程的互化，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．