Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的奇偶性，并證明；

（2）用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（3）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)；見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）因為中含有對數(shù)，定義域需滿足真數(shù)大于0，求得定義域為，關(guān)于原點對稱，再表示，判斷其等于，為偶函數(shù)；

（2）設(shè)任意，對作差，化簡后由真數(shù)大于1的對數(shù)大于0，得，即得證明；

（3）由（1）（2）可知是偶函數(shù)且在區(qū)間的單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)成立需滿足定義域從而構(gòu)建不等式組，解之得答案.

（1）因為，所以函數(shù)的定義域為，

因為，所以是偶函數(shù)；

（2）任取且，

則，

因為且，所以，

所以，

即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（3）因為是偶函數(shù)，所以，

又因為定義域為，且在區(qū)間的單調(diào)遞減，

因為，所以，解之得

所以的取值范圍是.