【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性,并證明;
(2)用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減;
(3)若,求的取值范圍.
【答案】(1)偶函數(shù);見解析(2)見解析(3)
【解析】
(1)因為中含有對數(shù),定義域需滿足真數(shù)大于0,求得定義域為,關(guān)于原點對稱,再表示,判斷其等于,為偶函數(shù);
(2)設(shè)任意,對作差,化簡后由真數(shù)大于1的對數(shù)大于0,得,即得證明;
(3)由(1)(2)可知是偶函數(shù)且在區(qū)間的單調(diào)遞減,由偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)成立需滿足定義域從而構(gòu)建不等式組,解之得答案.
(1)因為,所以函數(shù)的定義域為,
因為,所以是偶函數(shù);
(2)任取且,
則,
因為且,所以,
所以,
即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(3)因為是偶函數(shù),所以,
又因為定義域為,且在區(qū)間的單調(diào)遞減,
因為,所以,解之得
所以的取值范圍是.
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【題目】現(xiàn)對一塊邊長8米的正方形場地ABCD進(jìn)行改造,點E為線段BC的中點,點F在線段CD或AD上(異于A,C),設(shè)(米),的面積記為(平方米),其余部分面積記為(平方米).
(1)當(dāng)(米)時,求的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)該場地中部分改造費用為(萬元),其余部分改造費用為(萬元),記總的改造費用為W(萬元),求W取最小值時x的值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).M是曲線上的動點,將線段OM繞O點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段ON,設(shè)點N的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點O為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,若射線與曲線分別交于A, B兩點(除極點外),且有定點,求的面積.
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【題目】如圖:在三棱錐中,,是直角三角形,,
,點分別為的中點.
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的大。
(3)求二面角的正切值.
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【題目】某公司的電子新產(chǎn)品未上市時,原定每件售價100元,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),該電子新產(chǎn)品市場潛力很大,該公司決定從第一周開始銷售時,該電子產(chǎn)品每件售價比原定售價每周漲價4元,5周后開始保持120元的價格平穩(wěn)銷售,10周后由于市場競爭日益激烈,每周降價2元,直到15周結(jié)束,該產(chǎn)品不再銷售.
(Ⅰ)求售價(單位:元)與周次()之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)若此電子產(chǎn)品的單件成本(單位:元)與周次之間的關(guān)系式為,,,試問:此電子產(chǎn)品第幾周的單件銷售利潤(銷售利潤售價成本)最大?
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且.
(1)求函數(shù),的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),記(,).探究是否存在正整數(shù),使得對任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
參考結(jié)論:設(shè)均為常數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的充要條件是.
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【題目】如圖,AOB是一塊半徑為r的扇形空地,.某單位計劃在空地上修建一個矩形的活動場地OCDE及一矩形停車場EFGH,剩余的地方進(jìn)行綠化.若,設(shè)
(Ⅰ)記活動場地與停車場占地總面積為,求的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)為何值時,可使活動場地與停車場占地總面積最大.
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