Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：，；

（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得證；

（2）先求導(dǎo)數(shù)，再討論當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)性及極值情況，再求解即可.

（1）當(dāng)時，，則，

當(dāng)時，，則，又因為，

所以當(dāng)時，，僅時，，

所以在上是單調(diào)遞減，所以，即.

（2），因為，所以，，

①當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn).

②當(dāng)時，，令，

則在上單調(diào)遞減，因為，，

當(dāng)，即時，，，

所以在上單調(diào)遞增，，，

所以，，即，所以單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；

當(dāng)，即時，存在，使，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在處取極大值，

因為，所以，又因為，，

若存在兩個極值點(diǎn)，即存在兩個變號零點(diǎn)，則得，得，得，

此時存在，使得，，

當(dāng)，，，，，，即在處取得極小值，在處取得極大值，，為的兩個極值點(diǎn)，則此時.

綜上可知若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為：.