Question

若函數(shù)y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，當(dāng)x∈M時，求f（x）=2^x+1-3×4^x的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解不等式3-4x+x²＞0，得出M={x|x＜1或x＞3}，設(shè)t=2^x，轉(zhuǎn)換為：g（t）=-3t²+2t，0＜t＜2或t＞8，求解．

解答： 解：∵y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，
∴3-4x+x²＞0，
即x＞3或x＜1，
∴M={x|x＜1或x＞3}，
設(shè)t=2^x，0＜t＜2或t＞8，
∴f（x）=2^x+1-3×4^x=
g（t）=-3t²+2t，0＜t＜2或t＞8，
∵對稱軸t=

1

3

，
∴g（t）≥g（

1

3

）=-

1

3

+

2

3

=

1

3

，
∴2^x=

1

3

，x=log₂

1

3

=-log₂3
∵0＜t＜2或t＞8，
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：
g（t）=-3t²+2t，0＜t＜2或t＞8，的最大值為

1

3

，此時x=-log₂3；
無最小值，

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，換元法求解問題，屬于容易題．