已知函數(shù)f(x)=x2bxc(b,c∈R),對(duì)任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(xc)2;
(2)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2b2)恒成立,求M的最小值.
(1)見(jiàn)解析(2)
(1)易知f′(x)=2xb.由題設(shè),對(duì)任意的x∈R,2xbx2bxc,即x2+(b-2)xcb≥0恒成立,所以(b-2)2-4(cb)≤0,從而c+1.于是c≥1,
c≥2 =|b|,因此2cbc+(cb)>0.
故當(dāng)x≥0時(shí),有(xc)2f(x)=(2cb)xc(c-1)≥0.即當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(xc)2.
(2)由(1)知c≥|b|.當(dāng)c>|b|時(shí),有
M
t,則-1<t<1,=2-.
而函數(shù)g(t)=2- (-1<t<1)的值域是.
因此,當(dāng)c>|b|時(shí),M的取值集合為.
當(dāng)c=|b|時(shí),由(1)知b=±2,c=2.此時(shí)f(c)-f(b)=-8或0,c2b2=0,從而f(c)-f(b)≤ (c2b2)恒成立.
綜上所述,M的最小值為.
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