Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c，若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)α、β，且0＜α＜1＜β＜2，則$\frac{a^2}{4}+{b^2}$的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，\frac{13}{4}）$
• B． $（\frac{1}{4}，1）$
• C． $（1，\frac{9}{4}）$
• D． $（\frac{9}{4}，\frac{13}{4}）$

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)韋達(dá)定理求出α，β與a，b的關(guān)系，據(jù)α，β的范圍求出a，b的范圍，畫(huà)出關(guān)于a，b的不等式組的可行域，由圖數(shù)形結(jié)合

解答 解：f′（x）=x²+ax+2b，
∵α，β是f（x）的極值點(diǎn)，
所以α，β是x²+ax+2b=0的兩個(gè)根，
∴α+β=-a，αβ=2b，
∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴1＜α+β＜3，0＜αβ＜2
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2
令m=$\frac{a}{2}$，n=b，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{1}{2}}\\{0＜n＜1}\end{array}\right.$
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{1}{2}}\\{0＜n＜1}\end{array}\right.$的可行域，
則$\frac{a^2}{4}+{b^2}$表示可行域中的點(diǎn)（m，n）與（0，0）的距離平方m²+n²，
結(jié)合圖形可得OP²=$\frac{13}{4}$，OA²=$\frac{1}{4}$，
則$\frac{a^2}{4}+{b^2}$的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0；利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是給目標(biāo)函數(shù)幾何意義