Question

2．已知正實數(shù)a，b，c滿足$\frac{1}{a}+\frac{2}+\frac{3}{c}=1$，求證：$a+\frac{2}+\frac{c}{3}≥9$．

Answer 1

分析 a，b，c是正實數(shù)，利用基本不等式可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{3}{c}$≥3$\root{3}{\frac{1}{a}•\frac{2}•\frac{3}{c}}$，a+$\frac{2}$+$\frac{c}{3}$≥3$\root{3}{a•\frac{2}•\frac{c}{3}}$，相乘即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵a，b，c是正實數(shù)，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{3}{c}$≥3$\root{3}{\frac{1}{a}•\frac{2}•\frac{3}{c}}$，a+$\frac{2}$+$\frac{c}{3}$≥3$\root{3}{a•\frac{2}•\frac{c}{3}}$，
∴（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{3}{c}$）（a+$\frac{2}$+$\frac{c}{3}$）≥3$\root{3}{\frac{1}{a}•\frac{2}•\frac{3}{c}}$•3$\root{3}{a•\frac{2}•\frac{c}{3}}$=9，
∵$\frac{1}{a}+\frac{2}+\frac{3}{c}=1$，∴$a+\frac{2}+\frac{c}{3}≥9$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=3，b=6，c=9時，等號成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．