Question

18．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F（3，0），上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線AF交Γ于另一點(diǎn)M，若直線BM交x軸于點(diǎn)N（12，0），則Γ的離心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得AM和BN的方程，聯(lián)立即可求得M坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得a，即可求得Γ的離心率．

解答 解：由題意A（0，b），B（0，-b），
則直線AM及BN的方程，$\frac{x}{3}$+$\frac{y}$=1，$\frac{x}{12}$-$\frac{y}$=1，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}=1}\\{\frac{x}{12}-\frac{y}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=-\frac{3b}{5}}\end{array}\right.$，則M（$\frac{24}{5}$，-$\frac{3b}{5}$），
代入橢圓方程：$\frac{2{4}^{2}}{25{a}^{2}}+\frac{9}{25}=1$，解得：a=6，
由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的兩點(diǎn)式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．