Question

6．某單位N名員工參加“我愛閱讀”活動(dòng)，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求正整數(shù)a，b，N的值；
（Ⅱ）現(xiàn)要從年齡低于40歲的員工用分層抽樣的方法抽取42人，則年齡在第1，2，3組得員工人數(shù)分別是多少？
（Ⅲ）為了估計(jì)該單位員工的閱讀傾向，現(xiàn)對(duì)該單位所有員工中按性別比例抽查的40人是否喜歡閱讀國(guó)學(xué)類書

	喜歡閱讀國(guó)學(xué)類	不喜歡閱讀國(guó)學(xué)類	合計(jì)
男	14	4	18
女	8	14	22
合計(jì)	22	18	40

籍進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下所示：（單位：人）
下面是年齡的分布表：

區(qū)間	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50）
人數(shù)	28	a	b

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們能否有99%的把握認(rèn)為該位員工是否喜歡閱讀國(guó)學(xué)類書籍和性別有關(guān)系？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系求出樣本容量N、計(jì)算出a、b的值；
（Ⅱ）求出年齡低于40歲的員工數(shù)，利用分層抽樣原理求出每組抽取的人數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K²的觀測(cè)值，查表得出概率結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）總?cè)藬?shù)：$N=\frac{28}{5×0.02}=280$，a=28，
第3組的頻率是：1-5×（0.02+0.02+0.06+0.02）=0.4
所以b=280×0.4=112…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)槟挲g低于40歲的員工在第1，2，3組，共有28+28+112=168（人），
利用分層抽樣在168人中抽取42人，每組抽取的人數(shù)分別為：
第1組抽取的人數(shù)為$28×\frac{42}{168}=7$（人），
第2組抽取的人數(shù)為$28×\frac{42}{168}=7$（人），
第3組抽取的人數(shù)為$112×\frac{42}{168}=28$（人），
所以第1，2，3組分別抽7人、7人、28人．…（8分）
（Ⅲ）假設(shè)H₀：“是否喜歡看國(guó)學(xué)類書籍和性別無(wú)關(guān)系”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，
求得K²的觀測(cè)值$k=\frac{{40×{{（14×14-4×8）}^2}}}{22×18×22×18}≈6.8605＞6.635$，
查表得P（K²≥6.635）=0.01，從而能有99%的把握認(rèn)為該單位員工是否喜歡閱讀國(guó)
學(xué)類書籍和性別有關(guān)系…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．