Question

6．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos²B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B=1，0＜B＜$\frac{π}{2}$，若b=3，則a+c的取值范圍為（3，6]．

Answer 1

分析 由已知式子和三角函數(shù)公式易得B=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得a+c的不等式，解不等式結(jié)合三角形三邊關(guān)系可得．

解答 解：∵在△ABC中cos²B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B=1，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$（1+cos2B）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B=1，
∴$\frac{1}{2}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得B=$\frac{π}{3}$
由b=3和余弦定理可得9=a²+c²-2accosB
=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3（$\frac{a+c}{2}$）²，
解關(guān)于a+c的不等式可得a+c≤6，
由三角形兩邊之和大于第三邊可得a+c＞6=3，
∴a+c的取值范圍為（3，6]
故答案為：（3，6]

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函數(shù)公式，屬中檔題．