Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，AP=AB=2，F(xiàn)是PB的中點，E是BC上的動點．
（1）證明：PE⊥AF；
（2）若BC=2BE=4$\sqrt{3}$，求直線AP與平面PDE所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示空間直角坐標系．設BE=a，證明：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{AF}=0$，即可證明PE⊥AF；
（2）求出平面PDE的法向量，即可求直線AP與平面PDE所成角的大�。�

解答 （1）證明：建立如圖所示空間直角坐標系．設BE=a
則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）
   
于是，$\overrightarrow{PE}=（a，2，-2）$，$\overrightarrow{AF}=（0，1，1）$，
則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{AF}=0$，所以AF⊥PE．
（2）解：由$BC=2BE=4\sqrt{3}$，得$D（4\sqrt{3}，0，0）$，$E（2\sqrt{3}，2，0）$，$\overrightarrow{PD}=（4\sqrt{3}，0，-2）$，
$\overrightarrow{PE}$=（2$\sqrt{3}$，2，-2）設平面PDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$（{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}}\right.$，得：$\left\{{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}x-2z=0}\\{2\sqrt{3}x+2y-2z=0}\end{array}}\right.$，令x=1，則$z=2\sqrt{3}，y=\sqrt{3}$，
于是$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，而$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
設AP與平面PDE所成角為θ，所以$sinθ=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}|}}{{|\overrightarrow n||\overrightarrow{AP}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以AP與平面PDE所成角θ為60°．

點評 本題考查向量知識的運用，考查線線垂直，考查線面角，正確求出平面的法向量是關鍵．