設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，求直線l的斜率k的取值范圍．
分析：（Ⅰ）橢圓
x2
4
+y2=1中，a=2，b=1，c=
3
，F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，設(shè)p（x，y），則
PF1
•
PF2
=(-
3
-x，-y)•(
3
-x，-y）=x2+y2-3，由x∈[-2，2]，能求出
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立
y=kx+2
x2
4
+y2=1
，得(k2+
1
4
)x2+4kx+3=0，由△=(4k)2-4(k2+
1
4
)×3=4k2-3＞0，能求出直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）橢圓
x2
4
+y2=1中，a=2，b=1，c=
3
，
∴F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，
設(shè)p（x，y），則
PF1
•
PF2
=(-
3
-x，-y)•(
3
-x，-y）=x2+y2-3，
∵x∈[-2，2]，∴當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，
PF1
•
PF2
有最小值-2．
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，
PF1
•
PF2
有最大值1．
（Ⅱ）∵直線x=0不滿足題設(shè)條件，
∴設(shè)直線l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
y=kx+2
x2
4
+y2=1
，消去y，得(k2+
1
4
)x2+4kx+3=0，
∵過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+
1
4
)×3=4k2-3＞0，
解得k＞
3
2
，或k＜-
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，具體涉及到橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、韋達(dá)定理、根與系數(shù)的關(guān)系等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=
a2
c
上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上的一點(diǎn)A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點(diǎn)，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問(wèn)：“點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點(diǎn)在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（5，0），求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程．

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