Question

10．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{x}$，g（x）與f（x）的圖象關(guān)于點M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱．
（1）求g（x）解析式；
（2）若g（2^x）=a有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可求g（x）解析式；
（2）求g（2^x）的表達(dá)式，根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，求出g（2^x）的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)（x，y）是g（x）上的任意一點，（x，y）關(guān)于點M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱的點是（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+x′}{2}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{y+y′}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=-1-x}\\{y′=1-y}\end{array}\right.$，
∵（x′，y′）在f（x）=-$\frac{1}{x}$上，
∴1-y=-$\frac{1}{-1-x}$=$\frac{1}{1+x}$，
即y=1-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{x}{1+x}$，
即g（x）=$\frac{x}{1+x}$；
（2）∵g（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∴g（2^x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1+{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$=1-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
則0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，-1＜-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜0，
則-1＜1-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，
即-1＜g（2^x）＜1，
若g（2^x）=a有解，
則-1＜a＜1，
即a的取值范圍是（-1，1）．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用對稱性結(jié)合點的對稱關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．