Question

（2012•長春一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，半徑為2的圓C的圓心的極坐標(biāo)為(2，

π

3

)．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足3

OP

=

OQ

，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（ρ，θ）是圓C上任一點(diǎn)，過C作CH⊥OM于H點(diǎn)，則在RT△COH中，OH=OCsin∠COH能夠進(jìn)一步得出得出ρ，θ的關(guān)系．
（2）設(shè)Q的極坐標(biāo)為（ρ，θ），所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（

1

3

ρ，θ），將P的坐標(biāo)代入（1）中方程，再化為直角坐標(biāo)方程．

解答：解：（1）設(shè)M（ρ，θ）是圓C上任一點(diǎn)，過C作CH⊥OM于H點(diǎn)，則在RT△COH中，OH=OCsin∠COH，而∠COH=∠COM=|θ-

π

3

|，
OH=

1

2

OM=

1

2

ρ，OC=2，所以

1

2

ρ=2cos|θ-

π

3

|，即ρ=4cos（θ-

π

3

）為圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)Q的極坐標(biāo)為（ρ，θ），由于3

OP

=

OQ

，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（

1

3

ρ，θ），代入（1）中方程得

1

3

ρ=4cos（θ-

π

3

）
即ρ=6cosθ+6

3

sinθ，∴ρ²=6ρcosθ+6

3

ρsinθ，
所以點(diǎn)Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x-6

3

y=0．

點(diǎn)評：本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化及參數(shù)方程與普通方程的互化，“相關(guān)點(diǎn)”法求軌跡方程，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．