Question

2．如圖在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊中點(diǎn)，線段CE、DF相交于點(diǎn)G，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AG}$=（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow$
• B． $\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow$
• C． $\frac{5}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$
• D． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow$

Answer 1

分析 利用向量共線定理可得：$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AE}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AF}$+（1-y）$\overrightarrow{AD}$，又$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$．代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：利用向量共線定理可得：$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AE}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AF}$+（1-y）$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$．
∴x•$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$+（1-x）•$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=$y•（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）$+（1-y）$•\overrightarrow$，
整理為：（2-x-2y）$\overrightarrow{a}$+（y-2x）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-x-2y=0}\\{y-2x=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{4}{5}$．
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{4}{5}\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}\overrightarrow$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理、向量共面定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．