【題目】試比較3-與(n為正整數(shù))的大小,并予以證明.
【答案】見解析
【解析】
利用作差法可得3--=,確定3-與的大小關(guān)系等價于比較與2n+1的大小,利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
證明:3--=,
于是確定3-與的大小關(guān)系等價于比較與2n+1的大。
由2<2×1+1,<2×2+1,>2×3+1,>2×4+1,>2×5+1,
可猜想當(dāng)n≥3時,>2n+1,
證明如下:
ⅰ當(dāng)n=3時,由上可知顯然成立.
ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k時,>2k+1成立.
那么,當(dāng)n=k+1時,
=2×>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1,
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立,
綜合ⅰ和ⅱ,對一切n≥3的正整數(shù),都有>2n+1.
所以當(dāng)n=1,2時,3-<;
當(dāng)n≥3時,3->(n為正整數(shù)).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y=﹣x2+2|x|+1的圖象和性質(zhì)進行了探究,探究過程如下,請補充完整.
(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù),x與y的幾組對應(yīng)值列表如下:
x | … | ﹣3 | ﹣ | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
y | … | ﹣2 |
| m | 2 | 1 | 2 | 1 | ﹣2 | … |
其中,m= .
(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點,畫出了函數(shù)圖象的一部分,請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.
(3)觀察函數(shù)圖象,寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)./p>
(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):
①方程﹣x2+2|x|+1=0有 個實數(shù)根;
②關(guān)于x的方程﹣x2+2|x|+1=a有4個實數(shù)根時,a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題:如圖,同一平面內(nèi)有兩個邊長都是2的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知且
(1)求函數(shù)的定義域及其零點;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點是平行四邊形所在平面外一點,如果,,.(1)求證:是平面的法向量;
(2)求平行四邊形的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:
(1)由題意結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算法則計算可得,.則,,結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面,即是平面的法向量.
(2)利用平面向量的坐標(biāo)計算可得,,,則,,.
試題解析:
(1)∵,
.
∴,,又,∴平面,
∴是平面的法向量.
(2)∵ ,,
∴,
∴,
故, .
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】(1)求圓心在直線上,且與直線相切于點的圓的方程;
(2)求與圓外切于點且半徑為的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一,作為一種鏤空藝術(shù),它能給人以視覺上以透空的感覺和藝術(shù)享受.在中國南北方的剪紙藝術(shù),通過一把剪刀、一張紙、就可以表達生活中的各種喜怒哀樂.如圖是一邊長為1的正方形剪紙圖案,中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心,圓與圓之間是相切的,且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍,若在正方形圖案上隨機取一點,則該點取自白色區(qū)域的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校因為寒假延期開學(xué),根據(jù)教育部停課不停學(xué)的指示,該學(xué)校組織學(xué)生線上教學(xué),高一年級在線上教學(xué)一個月后,為了了解線上教學(xué)的效果,在線上組織數(shù)學(xué)學(xué)科考試,隨機抽取50名學(xué)生(滿分150分,且抽取的學(xué)生成績都在內(nèi))的成績并制成頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績;(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值作代表)
(2)用分層抽樣的方法從成績在和的同學(xué)中抽取6名,再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名,求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在同一組中的概率.
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