17.已知f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,求方程f(x)=0的解;
(2)若函數(shù)y=f(x)在(0,2)上有兩個零點x1=α,x2=β,求k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,證明$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$<4.

分析 (1)當k=2時,方程是含有絕對值的方程,對絕對值內的值進行分類討論去掉絕對值后解之.
(2)先將含有絕對值的函數(shù)轉化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式,再利用一元一次函數(shù)與二元一次函數(shù)的單調性,即可求出k的取值范圍,
(3)根據(jù)(2)即可證明.

解答 解:(1)當k=2時,f(x)=|x2-1|+x2+2x=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2x-1,x≥1或x≤-1}\\{2x+1,-1<x<1}\end{array}\right.$
∴2x2+2x-1=0或2x+1=0,
解得x=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$,x=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$(舍去),x=-$\frac{1}{2}$,
故方程為解為-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$和-$\frac{1}{2}$
(2):不妨設0<α<β<2,因為f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+kx-1,|x|>1}\\{kx+1,|x|≤1}\end{array}\right.$,
所以f(x)在(0,1]是單調函數(shù),故f(x)=0在(0,1]上至多一個解.
若 1<x1<x2<2,則αx1x2=-$\frac{1}{2}$<0,故不符題意,因此0<x1≤1<x2<2.
由f(x1)=0得k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$,所以k≤-1. 由f(x2)=0得,k=$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x2,
所以-$\frac{7}{2}$<k<-1,
故當-$\frac{7}{2}$<k<-1時,方程f(x)=0在(0,2)上有兩個解,
故所求的k的范圍是(-$\frac{7}{2}$,-1).
(3)由于當0<x1≤1<x2<2時,k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$,2x22+kx2-1=0,
消去k得,2x1x22-x1-x2=0,∴x1+x2=2x1x22,∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2x2
∵1<x2<2,∴2<2x2<4,∴2<$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$<4,
故$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$<4.

點評 本題主要考查的高考考點:函數(shù)的基本性質、方程與函數(shù)的關系等基礎知識;易錯點:解析問題的能力較差,分類討論的問題考慮不全面.備考提示:本題還考查函數(shù)的基本性質、方程與函數(shù)的關系等基礎知識,以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法解析和解決問題的能力,屬于中檔題.

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