Question

15．在棱長(zhǎng)為2的正四面體P-ABC中，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段PN上一點(diǎn)，且PD=2DN，則三棱錐P-MBD的體積為$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由已知條件求出D到平面PAB的距離，把三棱錐P-MBD的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐D-PBM的體積求解．

解答 解：如圖：
∵P-ABC為正四面體，且棱長(zhǎng)為2，
∴C在底面PAB的射影為底面三角形PAB的外心O，也是重心，
則BM=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$CO=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又N為BC的中點(diǎn)，PD=2DN，
D到面PAB的距離為$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}CO=\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$，
而${S}_{△PBM}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-MBD}={V}_{D-PBM}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{9}=\frac{\sqrt{2}}{9}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐及棱臺(tái)的體積，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了等積法在求多面體體積中的應(yīng)用，是中檔題．