Question

1．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=PA=1，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在面PAC內(nèi)，且NE⊥平面PAC，則點(diǎn)N到AB的距離為$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)N到AB的距離．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}，1，0$），D（0，1，0）、P（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
由于點(diǎn)N在側(cè)面PAC內(nèi)，故可設(shè)N（x，x，z），
則$\overrightarrow{NE}$=（-x，$\frac{1}{2}-x，\frac{1}{2}-z$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
∵NE⊥平面PAC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}-z=0}\\{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}-x=0}\\{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}-x-（\frac{1}{2}-z）=0}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，z=$\frac{1}{2}$，∴N（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴點(diǎn)N到AB的距離d=|$\overrightarrow{AN}$|•$\sqrt{1-[cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}＞]^{2}}$=$\frac{\sqrt{3-\sqrt{3}}}{2}$•$\sqrt{1-（\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3-\sqrt{3}}}{2}•\sqrt{3}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{3}}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．