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5.已知正四棱臺(由正四棱錐截得的棱臺叫做正四棱臺)上底面邊長為6,高和下底面邊長都是12,求它的側(cè)面積和體積.

分析 設(shè)E,E1分別是BC,B1C1的中點(diǎn),O,O1分別是下、上底面正方形的中心,則O1O是正四棱臺的高,且O1O=12,連結(jié)OE,O1E1,則OE=6,O1E1=3,過E1作E1H⊥OE,垂足為H,則E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=3,E1E=317,由此能求出該正四棱臺的側(cè)面積、體積.

解答 解:如圖,E,E1分別是BC,B1C1的中點(diǎn),O,O1分別是下、上底面正方形的中心,
則O1O是正四棱臺的高,則O1O=12,
連結(jié)OE,O1E1,則OE=12AB=12×12=6,O1E1=12A1B1=3,
過E1作E1H⊥OE,垂足為H,
則E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-O1E1=6-3=3,
在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×42+32=32×17,
E1E=317,
∴該正四棱臺的側(cè)面積為
{S}_{側(cè)}=4×\frac{1}{2}×({B}_{1}{C}_{1}+BC)×{E}_{1}E=2×(12+6)×3\sqrt{17}=108\sqrt{17}
S=62=36,S=122=144,h=12,
∴該正四棱臺的體積為:
V=\frac{h}{3}({S}_{上}+{S}_{下}+\sqrt{{S}_{上}{S}_{下}})=\frac{12}{3}(36+144+\sqrt{36×144})=1008.

點(diǎn)評 本題主要考查正四棱臺的側(cè)面積和體積的求法,考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及體積計算等基礎(chǔ)知識;考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力;考查了化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

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合計
附:{K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
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K01.3232.0722.7063.8415.0246.635
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