Question

2．某地計劃建造一間背面靠墻的小屋，其地面面積為12m²，墻面的高度為3m，經(jīng)測算，屋頂?shù)脑靸r為5800元，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元．設房屋正面地面長方形的邊長為xm，房屋背面和地面的費用不計．
（1）用含x的表達式表示出房屋的總造價z；
（2）怎樣設計房屋能使總造價最低？最低造價是多少？

Answer 1

分析 （1）由已知中地面面積為12m²，我們可得xy=12，可得y=$\frac{12}{x}$，根據(jù)房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r共5200元．根據(jù)墻高為3m，我們可以構造房屋總造價的函數(shù)解析式；
（2）利用基本不等式即可求出函數(shù)的最小值，注意等號成立的條件，進而得到答案．

解答 解：（1）設總造價為z元，
則由xy=12，可得y=$\frac{12}{x}$，
∴z=3y×1200+6x×800+5800
=$\frac{12×3600}{x}$+4800x+5800，（x＞0）；
（2）z≥2$\sqrt{\frac{12×3600}{x}•4800x}$+5800=34600，
當$\frac{12×3600}{x}$=4800x時，即x=3時，z有最小值34600，此時y=4．
答：長4m，寬3m．最低總造價為34600元．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用，函數(shù)的值域，其中根據(jù)已知條件構造房屋總造價的函數(shù)解析式，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，運用基本不等式是解答本題的關鍵．