【題目】圓周上有800個(gè)點(diǎn)，依順時(shí)針方向標(biāo)號(hào)為，它們將圓周分成800個(gè)間隙.今選定某一點(diǎn)染成紅色，然后按如下規(guī)則，逐次染紅其余的一些點(diǎn)：如果第號(hào)點(diǎn)已被染紅，則可按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過個(gè)間隙，再將所到達(dá)的那個(gè)端點(diǎn)染紅.如此繼續(xù)下去.試問圓周上最多可得到多少個(gè)紅點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

【答案】25

【解析】

一般地，對(duì)一個(gè)有個(gè)點(diǎn)的圓周，我們把按題設(shè)規(guī)則所能染紅的點(diǎn)數(shù)的最大值記為.

若圓周上有個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)被染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為.

（1）若是一個(gè)偶數(shù)，那么，所有染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)均為偶數(shù)，其過程相當(dāng)于在一個(gè)有個(gè)點(diǎn)的圓周上，第一個(gè)染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為的染點(diǎn)的過程，所以，兩圓周上所染紅的點(diǎn)數(shù)相同；

（2）若，其所染紅的第2個(gè)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為，是偶數(shù)，因此，其染紅的點(diǎn)數(shù)比有個(gè)點(diǎn)的圓周上第一個(gè)染紅的點(diǎn)的標(biāo)號(hào)為的染點(diǎn)的過程所得的紅點(diǎn)數(shù)多1.

綜上所述，得.

由此可得

.

對(duì)有25個(gè)點(diǎn)的圓周，不妨從1號(hào)點(diǎn)開始染紅，則可順次得標(biāo)號(hào)為1，2，4，8，16，7，14，3，6，12，24，23，21，17，9，18，11，22，19，13的20個(gè)紅點(diǎn)，故有.

反之，顯然若有 個(gè)紅點(diǎn)的標(biāo)號(hào)是5的倍數(shù)，則全部紅點(diǎn)的標(biāo)號(hào)均為5的倍數(shù).此時(shí)，紅點(diǎn)數(shù)小于或等于5.所以，達(dá)到最大值的染紅過程不含標(biāo)號(hào)為5的倍數(shù)的點(diǎn).從而，有，即.

因此，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】在中,分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，且滿足.

(Ⅰ)求的大�。�

(Ⅱ)現(xiàn)給出三個(gè)條件：①； ②；③.

試從中選出兩個(gè)可以確定的條件，寫出你的選擇并以此為依據(jù)求的面積 (只需寫出一個(gè)選定方案即可,選多種方案以第一種方案記分)

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【題目】2名女生和4名男生外出參加比賽活動(dòng)．

（1）他們排成一列照相時(shí)，若2名女生必須在一起，有多少種排列方法？

（2）他們排成一列照相時(shí)，若2名女生不相鄰，有多少種排列方法？

（3）從這6名學(xué)生中挑選3人擔(dān)任裁判，至少要有1名女生，則有多少種選法？

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【題目】甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．

（1）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；

（2）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．

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【題目】從一批草莓中，隨機(jī)抽取個(gè)，其重量（單位：克）的頻率分布表如下：

分組（重量）





頻數(shù)（個(gè)）





已知從個(gè)草莓中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到重量在的草莓的概率為．

（1）求出，的值；

（2）用分層抽樣的方法從重量在和的草莓中共抽取個(gè)，再從這個(gè)草莓中任取個(gè)，求重量在和中各有個(gè)的概率．

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【題目】一商家誠邀甲、乙兩名圍棋高手進(jìn)行一場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)國棋比賽，每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對(duì)局費(fèi)，同時(shí)商家每局從轉(zhuǎn)讓網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)播權(quán)及廣告宣傳中獲利12100元，從兩名棋手以往比賽中得知，甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為，兩名棋手約定：最多下五局，先連勝兩局者獲勝，比賽結(jié)束，比賽結(jié)束后，商家為獲勝者頒發(fā)5000元的獎(jiǎng)金，若沒有決出獲勝者則各頒發(fā)2500元.

（1）求下完五局且甲獲勝的概率是多少；

（2）求商家從這場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是多少.

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【題目】現(xiàn)代社會(huì)對(duì)破譯密碼的難度要求越來越高.有一種密碼把英文的明文（真實(shí)文）按字母分解，其中英文的a，b，…，z這26個(gè)字母（不論大小寫）依次對(duì)應(yīng)1，2，…，26這26個(gè)自然表，見表

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

給出如下一個(gè)變換公式：利用它可將明文轉(zhuǎn)換成密文，如，即h變成q；，即e變成c，按上述公式，若將某明文譯成的密文是shxc，那么，原來的明文是（ ）.

A. lhho B. ohhl C. love D. eovl

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【題目】直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.

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【題目】某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長度(單位：)進(jìn)行檢測(cè)，如下圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為( )

A.20，22.5B.22.5，25C.22.5，22.75D.22.75，22.75

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