Question

20．設f（x）=$\frac{1}{{{4^x}+2}}$，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{9}{10}$）=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先考察函數f（x）具有的性質：若a+b=1，則f（a）+f（b）=$\frac{1}{2}$，由此可求答案．

解答 解：設a+b=1，則f（a）+f（b）=$\frac{1}{{4}^{a}+2}$+$\frac{1}{{4}^+2}$=$\frac{1}{{4}^{a}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-a}+2}$
=$\frac{1}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^{a}}{4+2•{4}^{a}}$=$\frac{1}{2}$．
所以f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{2}{10}$）+f（$\frac{8}{10}$）=$\frac{1}{2}$，…，
∴f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{9}{10}$）=$\frac{1}{2}$×（9×$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查根據數列是特殊的函數，根據函數具有的性質，來解決數列的和問題，利用的是倒序相加法，屬于基礎題．