已知函數(shù)f(x)=
13
x3-ax2+(a2-1)x+b
(a,b∈R),其圖象在點(1,f(1))處的切線方程為x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的最大值.
分析:(1)求導函數(shù),利用導數(shù)的幾何意義,結合函數(shù)解析式,即可求a,b的值;
(2)求導數(shù),利用導數(shù)的正負,即可求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;
(3)將函數(shù)的極大值與端點函數(shù)值,比較,即可求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的最大值.
解答:解:(1)由題意,f′(x)=x2-2ax+a2-1.                                     …(1分)
又∵函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為x+y-3=0,
所以切線的斜率為-1,即 f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,解得a=1.                       …(2分)
又∵點(1,f(1))在直線x+y-3=0上,∴f(1)=2,…(3分)
同時點(1,f(1))即點(1,2)在y=f(x)上,∴2=
1
3
-a+(a2-1)+b
,…(4分)
2=
1
3
-1+(12-1)+b
,解得b=
8
3
.                                 …(5分)
(2)由(1)有f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3
,∴f′(x)=x2-2x,…(6分)
由f′(x)=0可知x=0,或x=2,
所以有x、f′(x)、f(x)的變化情況表如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 ? 極小值 ?
…(8分)
由上表可知,f(x)的單調遞增區(qū)間是(-∞,0)和(2,+∞),單調遞減區(qū)間是(0,2); …(10分)
∴函數(shù)f(x)的極大值是f(0)=
8
3
,極小值是f(2)=
4
3
.                  …(11分)
(3)由(2),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的極大值是f(0)=
8
3
.            …(12分)
f(-2)=-4,f(5)=
58
3
,…(13分)
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的最大值為
58
3
.…(14分)
點評:本題考查導數(shù)知識的應用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調性與極值,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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